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基向量的选择为向量空间定义了一个“坐标系”，通过这种选择，向量空间可以被映射到熟悉的欧几里得空间（ℝⁿ）。本文将探讨这一概念的核心内容，包括基向量如何定义坐标系统、坐标映射的数学性质以及其在实际应用中的意义。
在向量空间V中，选择一个基B（由n个线性无关向量组成），可以为V定义一个坐标系。基B的每个向量都对应于坐标系中的一个轴，通过这些基向量，任何V中的向量x都可以表示为基B的线性组合：
x = b₁c₁ + b₂c₂ + ... + bₙcₙ
其中，c₁, c₂, ..., cₙ是系数，相当于向量x在基B下的坐标。基B的选择决定了向量空间V如何被“投影”到熟悉的ℝⁿ空间中。
坐标系的概念可以通过日常生活中的例子来理解。例如，普通的纸张上的直角坐标系通过选择正交的x轴和y轴，以及单位长度，向量可以被表示为坐标点。例如，向量x = [1;6]在标准基{e₁, e₂}下的坐标表示为(1,6)，意味着它在x轴上移动1个单位，在y轴上移动6个单位。
然而，基B并不一定是标准基。例如，当基B选择为{[1;0], [1;2]}时，向量x = [1;6]在基B下的坐标为[-2;3]。这种坐标表示反映了基B的选择对向量位置的重新定义。
选择不同的基会导致不同的坐标表示。为了实现基间的坐标转换，需要使用坐标变换矩阵P_B。该矩阵由基B的向量组成，其作用是将向量从基B的坐标系映射到标准基（ℝⁿ）的坐标系。具体来说，如果P_B是基B的列向量组成的矩阵，则左乘以P_B可以将向量从基B的坐标转换为标准坐标。
坐标映射是一个线性变换，其线性性质保证了向量的加法和数乘操作在坐标系中的表现一致。例如，如果向量x和y在基B下的坐标分别为[c_x]_B和[c_y]_B，那么它们的和向量x + y在基B下的坐标为[c_x + c_y]_B，数乘标量α后的向量αx在基B下的坐标为αc_x]_B。
这种线性变换的性质在向量空间的运算中起到关键作用。例如，在任意向量空间中，只要选择了一个基，向量空间就可以被看作是ℝⁿ的一个仿射空间，其结构与ℝⁿ完全相同。
考虑多项式空间P³，标准基B = {1, t, t², t³}将其映射到ℝ⁴。一个多项式p(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³在基B下的坐标为(a₀, a₁, a₂, a₃)。通过坐标变换矩阵P_B = [1 t t² t³]，可以将多项式空间的向量映射到ℝ⁴，进行各种线性运算。
基向量的选择不仅定义了向量空间的坐标系，还通过坐标变换矩阵实现了向量间的线性映射。这种坐标系的引入使向量空间与熟悉的ℝⁿ空间之间建立了桥梁，方便了向量的操作和分析。在实际应用中，理解基向量与坐标系的关系是线性代数的核心内容之一。
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